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切比雪夫不等式(切比雪夫不等式等号成立条件)

2022-08-02 03:29:05 文化 0人已围观

本文纲要目录:

1 : 什么是切比雪夫不等式 有什么意义

切比雪夫(Chebyshev)不等式:对于任一随机变量X ,若EX与DX均存在,则对任意ε>0,恒有P{|X-EX|>=ε}<=DX/ε^2。切比雪夫不等式可以使人们在随机变量X的分布未知的情况下,对事件|x-u|<ε概率作出估计。

19世纪俄国数学家切比雪夫研究统计规律中,论证并用标准差表达了一个不等式,这个不等式具有普遍的意义,被称作切比雪夫定理,其大意是:

任意一个数据集中,位于其平均数m个标准差范围内的比例(或部分)总是至少为1-1/m2,其中m为大于1的任意正数。对于m=2,m=3和m=5有如下结果:

所有数据中,至少有3/4(或75%)的数据位于平均数2个标准差范围内。

所有数据中,至少有8/9(或88.9%)的数据位于平均数3个标准差范围内。

所有数据中,至少有24/25(或96%)的数据位于平均数5个标准差范围内。

切比雪夫(Chebyshev)不等式它适用于几乎无限种类型的概率分布,并在比正态更宽松的假设下工作。

扩展资料:

切比雪夫(1821~1894),俄文原名Пафну́тий Льво́вич Чебышёв,俄罗斯数学家、力学家。1821年5月26日生于卡卢加省奥卡托沃,1894年12月8日卒于彼得堡。

他一生发表了70多篇科学论文,内容涉及数论、概率论、函数逼近论、积分学等方面。他证明了贝尔特兰公式,自然数列中素数分布的定理,大数定律的一般公式以及中心极限定理。他不仅重视纯数学,而且十分重视数学的应用。

关于切比雪夫在概率论中所引进的方法论变革的伟大意义,苏联著名数学家柯尔莫哥洛夫在“俄罗斯概率科学的发展”(Роль сусской нaуки в сaзвии теории вероятносгей,ИБИД,стр,53—64)一文中写道:

“从方法论的观点来看,切比雪夫所带来的根本变革的主要意义不在于他是第一个在极限理论中坚持绝对精确的数学家(A.棣莫弗(de Moivre)、P-S.拉普拉斯(Laplace)和泊松的证明与形式逻辑的背景是不协调的,他们不同于雅格布·伯努利,后者用详尽的算术精确性证明了他的极限定理)。

切比雪夫的工作的主要意义在于他总是渴望从极限规律中精确地估计任何次试验中的可能偏差并以有效的不等式表达出来。此外,切比雪夫是清楚地预见到诸如‘随机变量’及其‘期望(平均)值’等概念的价值,并将它们加以应用的第一个人。

参考资料来源:百度百科——切比雪夫定理

2 : 切比雪夫不等式

切比雪夫(Chebyshev)不等式 对于任一随机变量X ,若EX与DX均存在,则对任意ε>0,恒有P{|X-EX|>=ε}=ε} 越小,P{|X-EX|=ε}的一个上界,该上界并不涉及随机变量X的具体概率分布,而只与其方差DX和ε有关,因此,切比雪夫不等式在理论和实际中都有相当广泛的应用.需要指出的是,虽然切比雪夫不等式应用广泛,但在一个具体问题中,由它给出的概率上界通常比较保守.切比雪夫不等式是指在任何数据集中,与平均数超过K倍标准差的数据占的比例至多是1/K^2.在概率论中,切比雪夫不等式显示了随机变数的「几乎所有」值都会「接近」平均.这个不等式以数量化这方式来描述,究竟「几乎所有」是多少,「接近」又有多接近:与平均相差2个标准差的值,数目不多於1/4 与平均相差3个标准差的值,数目不多於1/9 与平均相差4个标准差的值,数目不多於1/16 …… 与平均相差k个标准差的值,数目不多於1/K^2 举例说,若一班有36个学生,而在一次考试中,平均分是80分,标准差是10分,我们便可得出结论:少於50分(与平均相差3个标准差以上)的人,数目不多於4个(=36*1/9).
测度论说法
设(X,∑,μ)为一测度空间,f为定义在X上的广义实值可测函数.对於任意实数t > 0,一般而言,若g是非负广义实值可测函数,在f的定义域非降,则有 上面的陈述,可透过以|f|取代f,再取如下定义而得:
概率论说法
设X为随机变数,期望值为μ,方差为σ2.对於任何实数k>0,改进 一般而言,切比雪夫不等式给出的上界已无法改进.考虑下面例子:这个分布的标准差σ = 1 / k,μ = 0.当只求其中一边的值的时候,有Cantelli不等式:[1]
证明
定义,设为集的指标函数,有 又可从马尔可夫不等式直接证明:马氏不等式说明对任意随机变数Y和正数a有\Pr(|Y| \le \opeatorname{E}(|Y|)/a.取Y = (X − μ)2及a = (kσ)2.亦可从概率论的原理和定义开始证明:
参见
马尔可夫不等式 弱大数定律

3 : 什么是切比雪夫不等式?有什么意义

你好。
切比雪夫(chebyshev)不等式
对于任一随机变量x
,若ex与dx均存在,则对任意ε>0,
恒有p{|x-ex|>=ε}<=dx/ε^2
切比雪夫不等式说明,dx越小,则
p{|x-ex|>=ε}
越小,p{|x-ex|<ε}越大,
也就是说,随机变量x取值
基本上集中在ex附近,这进一步说明了方差的意义。
同时当ex和dx已知时,切比雪夫不等式给出了概率
p{|x-ex|>=ε}的一个上界,该上界并不涉及随机变x的具体概率分布,而只与其方差dx和ε有关,因此,切比雪夫不等式在理论和实际中都有相当广泛的应用。需要指出的是,虽然切比雪夫不等式应用广泛,但在一个具体问题中,由它给出的概率上界通常比较保守。
希望对你有所帮助。

4 : 切比雪夫不等式的内容是什么?怎样证明?

切比雪夫不等式切比雪夫(Chebyshev)不等式
对于任一随机变量X ,若EX与DX均存在,则对任意ε>0,
恒有P{|X-EX|>=ε}<=DX/ε^2
切比雪夫不等式说明,DX越小,则 P{|X-EX|>=ε}
越小,P{|X-EX|<ε}越大, 也就是说,随机变量X取值基本上集中在EX附近,这进一步说明了方差的意义。
同时当EX和DX已知时,切比雪夫不等式给出了概率P{|X-EX|>=ε}的一个上界,该上界并不涉及随机变X的具体概率分布,而只与其方差DX和ε有关,因此,切比雪夫不等式在理论和实际中都有相当广泛的应用。需要指出的是,虽然切比雪夫不等式应用广泛,但在一个具体问题中,由它给出的概率上界通常比较保守。
切比雪夫不等式是指在任何数据集中,与平均数超过K倍标准差的数据占的比例至多是1/K^2。
在概率论中,切比雪夫不等式显示了随机变数的「几乎所有」值都会「接近」平均。这个不等式以数量化这方式来描述,究竟「几乎所有」是多少,「接近」又有多接近:
与平均相差2个标准差的值,数目不多於1/4
与平均相差3个标准差的值,数目不多於1/9
与平均相差4个标准差的值,数目不多於1/16
……
与平均相差k个标准差的值,数目不多於1/k2
举例说,若一班有36个学生,而在一次考试中,平均分是80分,标准差是10分,我们便可得出结论:少於50分(与平均相差3个标准差以上)的人,数目不多於4个(=36*1/9)。

测度论说法

设(X,Σ,μ)为一测度空间,f为定义在X上的广义实值可测函数。对於任意实数t > 0,
一般而言,若g是非负广义实值可测函数,在f的定义域非降,则有
上面的陈述,可透过以|f|取代f,再取如下定义而得:

概率论说法

设X为随机变数,期望值为μ,方差为σ2。对於任何实数k>0,
改进
一般而言,切比雪夫不等式给出的上界已无法改进。考虑下面例子:
这个分布的标准差σ = 1 / k,μ = 0。
当只求其中一边的值的时候,有Cantelli不等式:
[1]

证明

定义,设为集的指标函数,有
又可从马尔可夫不等式直接证明:马氏不等式说明对任意随机变数Y和正数a有\Pr(|Y| \le \opeatorname{E}(|Y|)/a。取Y = (X �6�1 μ)2及a = (kσ)2。
亦可从概率论的原理和定义开始证明:

5 : 契比雪夫不等式是什么?

契比雪夫不等式是排序不等式的一个推广。

契比雪夫不等式是指在任何数据集中,与平均数超过K倍标准差的数据占的比例至多是1/K^2。切比雪夫不等式描述了这样一个事实,事件大多会集中在平均值附近。比如假设中国男人平均身高1.7m,那么不太可能出现身高17m的巨人。事实上我们从来没有见过这种“怪物”。

概率论中的契比雪夫不等式:

在概率论中,契比雪夫不等式显示了随机变数的“几乎所有”值都会“接近”平均。这个不等式以数量化这方式来描述,究竟“几乎所有”是多少,“接近”又有多接近:与平均相差2个标准差的值,数目不多於1/4;与平均相差3个标准差的值,数目不多於1/9;与平均相差4个标准差的值,数目不多於1/16……与平均相差k个标准差的值,数目不多於1/k2。

6 : 切比雪夫不等式的内容~!

当a1>=a2>=a3>=……>=an切比雪夫不等式,且b1>=b2>=b3>=……>=bn时
有(a1+a2+a3+……+an)*(b1+b2+b3+……+bn)<=n*(a1*b1+a2*b2+……+an*bn)
当a1>=a2>=a3>=……>=an切比雪夫不等式,且b1<=b2<=b3<=……<=bn时
有(a1+a2+a3+……+an)*(b1+b2+b3+……+bn)>=n*(a1*b1+a2*b2+……+an*bn)
好久不用切比雪夫不等式切比雪夫不等式,应该没错

7 : 什么是切比雪夫不等式有什么意义

切比雪夫(Chebyshev)不等式
对于任一随机变量X ,若EX与DX均存在,则对任意ε>0,
恒有P{|X-EX|>=ε}<=DX/ε^2
切比雪夫不等式说明,DX越小,则 P{|X-EX|>=ε}
越小,P{|X-EX|<ε}越大, 也就是说,随机变量X取值
基本上集中在EX附近,这进一步说明了方差的意义。
同时当EX和DX已知时,切比雪夫不等式给出了概率
P{|X-EX|>=ε}的一个上界,该上界并不涉及随机变X的具体概率分布,而只与其方差DX和ε有关,因此,切比雪夫不等式在理论和实际中都有相当广泛的应用。需要指出的是,虽然切比雪夫不等式应用广泛,但在一个具体问题中,由它给出的概率上界通常比较保守。